3次元極座標のLaplacian(第1版)
3次元極座標のLaplacian(第1版)
- date: 2020/10/18
- author: quantale
1. 概要
3次元曲座標のLaplacian表示についてMatlabを用いて公式の証明を行う。
2. 検証環境
3. 3次元極座標のLaplacian表示公式
変数変換
に対して
が成立する。
4. 証明の指針
本公式の証明には
- 方法1: 座標変換の公式から直接計算する。
- 方法2: 微分形式により計算する。
がある。
「方法1」は前提知識がほとんどないが、証明が非常に冗長になる。
「方法2」は証明が短くて済み、さらに一般形まで示すことができるが、「微分形式」の前提知識が必要となる。
本稿では、初等的な方法により、Matlabを用いた計算を行う
- 方法3: 「方法1」をMatlabにより計算。
を採用する。
5. 証明
滑らかな
上の関数fについて
上の関数fについて
を示す。
ここで左辺をLHS(Left-Hand-Side), 右辺をRHS(Right-Hand-Side)と表し、LHS=RHSを以下示す。
連鎖律(Chain-Rule)より
行列で表すと
ここで
と置き,
と表すと
close all; clear; clc; % 初期化
syms x y z; % シンボリック変数x,y,zを定義
syms r theta phi real; % シンボリック変数r,theta,phiを実数型として定義
syms f(r,theta,phi); % シンボリック変数r,theta,phiの関数としてfを定義
x = r*sin(theta)*cos(phi); % xを極座標系で表す
y = r*sin(theta)*sin(phi); % yを極座標系で表す
z = r*cos(theta); % zを極座標系で表す
J = jacobian([x;y;z], [r theta phi]); % 上記Jacobian行列
L = diag([1 r r*sin(theta)]); % 上記対角行列L
U = inv(L) * J.'; %#ok<MINV> % 上記行列U
このときUは直交行列, すなわち 
(ここで I は恒等変換) を満たす。実際,
(ここで I は恒等変換) を満たす。実際,simplify(U.' * U)
simplify(U * U.')
となる。したがって, 
。これを用いると
。これを用いると
のxyz-座標系での第k成分を
と表すと
Nab_f = U.' * inv(L) * gradient(f); %#ok<MINV>
Nab_f = Nab_f(r,theta,phi);
D2f = sym(zeros(size(Nab_f)));
Df2(1) = subs(Nab_f(1),f,Nab_f(1));
Df2(2) = subs(Nab_f(2),f,Nab_f(2));
Df2(3) = subs(Nab_f(3),f,Nab_f(3));
左辺(LHS)として
の和としてLaplacianを計算する。
の和としてLaplacianを計算する。LHS = sum(Df2);
右辺(RHS)として各項とその和を求める。
term1 = diff(r^2*diff(f,r),r)/r^2;
term2 = diff(sin(theta)*diff(f,theta),theta)/(r^2*sin(theta));
term3 = diff(f,phi,2)/(r*sin(theta))^2;
RHS = term1 + term2 + term3;
LHS-RHSを計算して
simplify(LHS-RHS)
0
によりLHS=RHSが示された。▮
Reference
フーリエ解析と関数解析学 (数学レクチャーノート 基礎編)
2020.10.18
現在廃版のため、中古価格が高騰している。
ひとまず旧版であるこの本を購入した。
現代の「フーリエ解析」として、完璧なストーリー展開である。
立ち止まってみたときに見える「フーリエ解析」は百科事典のように味気ないが、
本書は今現在の「フーリエ解析」の生きている姿に肉薄したドキュメンタリ―を見ているようだった。
Wavelet、量子力学との接続等のみならず、和書であまり書かれていないFrame理論も書かれている。それらが単純なコレクションとしてではなく、有機的な結合として総体をなす様子が描かれている。
それら個々の応用ついては、それぞれが１冊の専門書となるほど広がりを持っているが、おおまかな接続関係をたった１冊のBookletで把握できるのはなんといっても痛快である。「新・フーリエ解析と関数解析学 」の再版が待ち望まれてならない。
絶対わかる物理数学 (絶対わかる物理シリーズ)
2020/10/17 読了。
見開き２ページ単位で、物理数学の基本要素を簡潔に説明。
図も多く直観的に把握しやすい。
Differential Equations and Their Applications: An Introduction to Applied Mathematics
群と表現 江沢 洋 (著), 島 和久 (著)
(2020/10/05)
物理の観点から書かれた群の表現論。
実例が面白い。
(練図)
Hilbert空間における完全正規直交系(CONS)の構成例(第1版)
Hilbert空間
における完全正規直交系(CONS)の構成例(第1版)
- date: 2020/10/02
- author: quantale
目次
1. 概要
Hilbert空間
での具体的な完全正規直交系(CONS)の構成例を, Matlabの計算とともに示す。
での具体的な完全正規直交系(CONS)の構成例を, Matlabの計算とともに示す。2. 検証環境
3. Legendre多項式系
(1) 多項式系
を 
と定める。
について関数 
の概形を示す。close all; clear; clc; % 初期化
syms t % シンボリック変数tを定義
% グラフ出力
fplot(power(t,0:4)); axis([-1.2 1.2 -1.2 1.2]); grid on;
xlabel('$t$','Interpreter','latex');
ylabel('$t^n$','Interpreter','latex');
legend('$1$','$t$','$t^2$','$t^3$','$t^4$',...
'Location','best','Interpreter','latex');
title('fig1. $x_n(t) = t^n$','Interpreter','latex');
(2) 多項式系のGram-Schmidt直交化
は線形独立であるから Gram-Schmidt の直交化法が適用できる。
実際に最初の5ステップを計算する。
% 変数と基本処理関数の定義
sym t; % シンボリックに変数tを定義
x = @(n) t^n; % x_n(t) := t^n
d = @(v,w) int(v*w,-1,1); % 内積計算処理
nrz = @(x) x/sqrt(d(x,x)); % L^2ノルム正規化処理
% Gram-Schmidt直交化法で最初の5項を計算
syms p0 p1 p2 p3 p4;
p0 = nrz(x(0));
p1 = nrz(x(1)-d(x(1),p0)*p0);
p2 = nrz(x(2)-d(x(2),p0)*p0-d(x(2),p1)*p1);
p3 = nrz(x(3)-d(x(3),p0)*p0-d(x(3),p1)*p1-d(x(3),p2)*p2);
p4 = nrz(x(4)-d(x(4),p0)*p0-d(x(4),p1)*p1-d(x(4),p2)*p2-d(x(4),p3)*p3);
p0 ,⋯, p4 について簡約後, 出力
p0 = simplify(p0)
p1 = simplify(p1)
p2 = simplify(p2)
p3 = simplify(p3)
p4 = simplify(p4)
(3) Legendre多項式系との関係
Legendre多項式
を用いると先の p0 ,⋯, p4 は
の形をしている。実際に比較すると
phi = @(n) sqrt(sym( (2*n+1)/2) )*legendreP(n,t); % phi_nとおいた。
simplify(phi(0)-p0) % phi_(0)-p0を計算
0
simplify(phi(1)-p1) % phi_(1)-p1を計算
0
simplify(phi(2)-p2) % phi_(2)-p2を計算
0
simplify(phi(3)-p3) % phi_(3)-p3を計算
0
simplify(phi(4)-p4) % phi_(4)-p4を計算
0
となり結果は一致する。
そこで改めて
と定めると, これは
からGram-Schmidt直交化により得られた正規直交系(ONS)と一致し, 
となる。
からGram-Schmidt直交化により得られた正規直交系(ONS)と一致し, となる。について関数 
の概形を示す。% グラフ出力
fplot(phi(0)); hold on;
fplot(phi(1));fplot(phi(2));fplot(phi(3));fplot(phi(4));
axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]); grid on; xlabel('$t$','Interpreter','latex');
ylabel('$\varphi_n$','Interpreter','latex');
legend('$\varphi_0$','$\varphi_1$','$\varphi_2$',...
'$\varphi_3$','$\varphi_4$',...
'Location','best','Interpreter','latex');
title('fig2. $\varphi_n(t):=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}\cdot P_n(t)$',...
'Interpreter','latex');
hold off;
(4) 完全正規直交性
得られた正規直交系(ONS) 
が完全正規直交系であることは以下のようにわかる。
が完全正規直交系であることは以下のようにわかる。
は区間 
の点を分離すること等からStone-Weierstrassの定理([4], p.146)より は 
で
ノルムについて稠密となる。 は 
で
ノルムについて稠密である([4], p.244)。よって は で稠密となる。一般にHilbert空間ℋの正規直交系(ONS)
について, その線形結合の全体を
で表すと,
について, その線形結合の全体をで表すと,
で稠密 ⟺ 完全正規直交系(CONS)がいえることから(Hiai,Yanagi p.7), は の完全正規直交系(CONS)を定める。
は の完全正規直交系(CONS)を定める。4. まとめ
5. 展開
- 関数列
にGram-Schmidtの直交化法を適用することでLaguerre(ラゲール)多項式による完全正規直交系
を構成することができる。 - 関数列
にGram-Schmidtの直交化法を適用することでHermite(エルミート)多項式による完全正規直交系
を構成することができる。
Appendix A. Note
- Gram-Schmidt の結果からLegendre(ルジャンドル)多項式表現ができることを天下り式に認めて議論を進めたが, 時間があればもう少し厳密に書き直したい。
- Legendre(ルジャンドル)多項式, Laguerre(ラゲール)多項式, Hermite(エルミート)多項式と①「量子力学」, ②「群上の調和解析」との関係について触れず, 本稿では関数解析的な展開を[1]に従い行ったが, ①については量子力学の教科書, ②については[5]等を参照されたい。
Appendix B. Reference
